모드 해석의 기하학적 이해 + 푸시오버 해석에서 흔히 하는 관습적 오류

 

우선 모드해석이 수식적으로 어떻게 돌아가는지 알지 못한다면 내가 4년전에 썼던 글을 참고하자. 해당 내용은 이미 알고 있는 내용을 기록한 것이기에 설명을 자세하게 남기지는 않았으나, 코드를 어느 정도 살펴보면 수학적으로 이해할만하다.(과거에 100:30 rule의 합리성과 관련한 논문을 준비하던 중 내가 짠 코드가 적절한지 그리고 마이다스에서 추출한 특정 데이터 값을 그대로 사용할 수 있을지 검증하기 위해 체크하면서 작성했던 글이다... 100:30 rule 자체가 명확한 수학적 근거에 의한게 아닌 통계적 결과에 따른 지침이라, 실제 지진 응답조건과 비교하여 보수적이지 못한 경우가 발생할 수 있는데, 그 경우를 일반화 하기 위해 당시에 준비하던 논문은... 내가 단기간에 결과를 내기 어려운 주제였던지라 당시 어느정도 자료를 모으다가 해당 주제의 논문 작성을 잠정 중단하였다... 후배 중에 관련주제로 연구를 생각하는 사람이 있다면, 도움을 줄 수 있다면 도움을 줄 생각이다.)

 

https://gkjeong.tistory.com/110

모드 해석의 진행에 관하여

 

 

 

 일단 질량점 1개의 이상화한 모드해석에 대해 기하학적으로 묘사하면 아래와 같다. (실제 구조물은 내가 그린 그림과 달리, 질량참여율과 모드참여율을 구분해서 고려되고 모드 합성이 단순 누적합으로 계산되는게 아니라 CQC 합성을 적용하기에 더 복잡하지만, 질량점 1개의 경우 2차원 거동만 고려한 2자유도 운동을 가정 + 형상벡터의 전체 크기를 단위벡터로 크기를 맞춰서 계산하면 실제 작용하중 크기 자체는 아래 방식으로도 비슷하게 계산할 수 있다.[내가 말한 조건으로 생각하면 직교하는 두 고유벡터만 존재하기에 합성값에 맞게 축을 돌리는 방식으로 SRSS, CQC와 벡터의 일반 누적 합이 같은 크기를 나타나게 만들 수 있는데, 사실 이 모드의 직교성 자체가 다자유도 거동에서 모드의 합성을 SRSS나 CQC로 합성하는 이유이기도 하다.]

 물론 아래 그림은 모드해석의 전체 개념을 이해하기 쉽게 그린 것이고, 계산 자체는 실제로는 아래처럼 V1, V2가 먼저 특정되어 계산되는게 아니라, 모드 기여 계수를 계산하고 이것을 통해 특정 모드의 유효질량을 계산하고,  해당모드의 유효질량 * 해당모드에 대응하는 응답 가속도인 Cs값을 곱한 값을 각각의 모드 밑면전단력으로 계산하고 이것들을 합성해서 밑면전단력을 계산하는 것이다. 그리고 이해를 돕기위해 누적합으로 설명하다보니 오해가 있을 수 있는데, 실제로는 각각의 모드는 동시 발생이 불가하기에 아래 그림처럼 단순한 벡터합으로 계산하지 않고 SRSS 합성이나 CQC 합성으로 각각의 모드의 응답결과를 합성시키는 방식을 해석적으로 사용하고 있다. (계산 방식은 위의 https://gkjeong.tistory.com/110 참고)

 이 과정을 이해하면 질량참여율은 일종의 지표로서 필요한 것이고, 실제 하중 계산하는데 원론적으로 필요한 것은 질량행렬과 형상벡터로 계산되는 모드기여계수 혹은 모드 기여율이라는 것을 알 수 있기에 그림과 같이 표현 된다.) 즉 Rx ,Ry 값은 각각의 모드의 x방향 기여계수 혹은 y방향 기여계수로 가중치를 둔 값을 합성합한 누적 값이기에 벡터의 합처럼 계산이 가능하다. 실제로 실제구조물도 형상이 복잡하여 아래처럼 2차원에 간단하게 그리지 못할 뿐이지 모드형상 자체가 벡터이기에 벡터의 합성이 맞다. 벡터의 합으로 인식되지 못하는 이유는 단순 누적합으로 계산하면 실제 구조물의 주요 거동을 나타내지 못하기에 모드의 응답값을 합성 시 SRSS나 CQC 방식을 통해 실제 조건에서 응답값을 추산하는 것이다. 그리고 전체 Rx, Ry를 구하면 Rx의 y방향 성분과 Ry의 x방향 성분이 같은데, 그 원리는 해당 수식을 뜯어보면 되므로 위에 링크로 남긴 110번 게시글을 참고하자.

 참고로 모드해석을 이해하지 못하는 경우 무조건 질량참여율이 높아야만 해당모드의 밑면전단력 영향력이 큰 것으로 생각해서 1차모드를 이용한 pushover 해석이 가능한 것으로 생각하는데, 최종적인 밑면전단력에 적용되는 값은 각각의 모드의 고유주기가 같이 영향을 끼치므로, 1차모드가 질량 참여율이 생각만큼 높지 않아도 1차모드의 방향성이 전체 층에서 뚜렷하고 나머지 모드의 형상이 심하게 지그재그 형태로 가면 1차모드와 나머지 모드의 고유주기 차이가 크게 벌어지면서 고차모드가 전단력을 크게 유도하지 않을 수 있어, 이 경우에도 1차모드의 영향이 커지게 된다.

이해를 돕기위해 1질량점 평면운동만 가정하여 단순 벡터 누적 합으로 그린 것이고, 실제 다자유도 구조물의 합성은 CQC 합성 등으로 모드합성을 하기에 이렇게 표현되지는 못한다.

 

 여하튼 내가 굳이 모드해석의 기하학적 이해까지 손으로 그려서 남기는 이유는, 과거 기술이 발달하기 전 편의를 위해 관습적으로 행해지는 비선형정적해석(푸시오버 해석) 방식을 정석적으로 받아들여서 시간이 지난 현재에도 업계에서 오류를 개선할 모양새가 아닌 탓이다.

 참고로 이론적으로 pushover해석 자체는 1차 모드에 국한된게 아니기 때문에, 주기-Sa에 대한 응답스펙트럼을 ADRS 스펙트럼으로 변환하는 방식만 맞으면 다양한 방법을 시도해 볼 수 있다. 최신의 성능설계 지침(AIK-G-001-2021)에서는 비선형 정적해석 방식을 3가지를 허용한다. 아래에 해당 내용을 남긴다. 이 때, 1차모드로 적용하였다면 모드참여율을 고려해 지붕변위를 보정해서 Sd에 대응시켜야하고, 전체하중을 고려했다면 그대로 활용하면 된다.

(참고로 개인적으로 계산해서 검증한 결과 마이다스에서는 pushover 기능을 사용할 때 세팅한 방향에 맞춰서 자동으로 1차모드에 대한 모드기여계수와 선택한 점의 벡터값을 받아서 반영하는 방식을 사용하기에 성능곡선을 자동으로 보정하고 수동개입할 방법이 없어서 3안의 방법을 활용할 수 없어 보인다. 혹시 수동으로 세팅할 수 있는 방법이 있다면 알고 싶다. 사실 이것 때문에 100:30 rule을 적용할 때 오차가 발생하긴 한다. 명확하게 이론적인 100:30 rule이 적용된 ADRS 스펙트럼을 그리려면 100% 중  Γ1 *φ1 의 값이 아니라 130% 중 100% Γ1 *φ1  +  30% Γ2 *φ2 를 활용해서 보정해야 하는데, 1차모드 기여율이 높다면 특정 방향의 직교 방향하는   Γ *φ 값이 0에 가깝기에 큰 오차는 아니다. 그러나 이걸 세팅가능하고 못하고의 차이는 크니까...)

 

 

1) 등가정적하중의 수직분포

2) 각 하중방향의 "1차모드 형상"과 질량 분포에 따른 층전단력 수직분포

3) 응답스펙트럼 모드조합을 적용한 수직분포

여기서 1)은 굳이 설명하지 않겠으며, 2)는 위의 그림의 Rx.1st,  Ry.1st를 이용하라는 얘기이며, 3)은 Rx, Ry를 이용하라는 의미이다.

참고로 기존시설물이나 학교성능평가 지침은 2)의 방식을 제시하고 있다. 그런데 2)의 방식에서 "모드형상"은 1차모드가 반응하는 하중의 방향을 결정한다. 즉, 해당 방향으로 구조물이 응답하는 것이기에 Rx.1st를 x성분만 남겨서 그리고 Ry는 y성분만 남겨서 Rx.1st-x , Ry.1st-y 로 하중을 적용하면 실제 구조물의 거동과 전혀 다른 방향으로 하중을 가하는 꼴이 된다. 그건 마치 선형해석에서 Rx의 x성분만 그리고 Ry의 y성분만 따로 떼서 하중조합을 만드는게 아닌 것 처럼 당연히 개념적으로 맞지 않은 것이다... 모드는 '형상벡터'에 기반하는데 벡터의 방향성을 무시하는 것은 고유치 해석 자체를 이해하지 못하는 것과 같다. 이러한 해석오차는 x,y방향의 질량 참여율이 낮으면 더욱 두드러지기에 사실 정 그런 방식을 고집한다면 주축을 찾아 주축에 맞게 돌리고 적용하는게 맞다.

 다만 주축이 명확하다면 해당 방식이 큰 문제가 되지 않으니 과거에  Rx.1st와 Ry.1st의 100:30 rule을 프로그램 상 적용하기 어려운 문제 등으로 Rx.1st-x와 Ry.1st-y를 100:30 rule로 적용하는게 관습적으로 허용되었다.

 

 그런데 현재는 midas gen 프로그램에서 알아서 특정 모드에 대응하는 하중을 추출해서 만들어주어 그냥 그대로 사용하면 된다. 즉, 추가로 손을 대지 않고 추출한 특정모드에 대응하는 하중을 가지고 100:30rule을 적용하면 된다. 문제는 이런 개념을 모르는 실무자들과 3자 검증자들이 과거의 관습적인 방법을 사용하여, 추출한 모드별 하중에서 굳이 다시한번 Rx.1st-x와 Ry.1st-y를 따로 추출해서 그것을 가지고 100:30 rule로 해석을 진행하도록 강제하는 경우가 있다. 실무자야 몰라서 전문가에게 리뷰를 받고 수정하면 된다지만, 3자 검증자가 잘못된 방식을 지시하는 것은 문제가 된다;;;

 주축이 어느정도 명확한 건물에선 과거 관습에 따르는 해당 방식이 큰 차이를 만들지 않기에 수정했을 때 문제가 생기지 않는 경우라면 굳이 토를 달지 않으나... 아닌 것은 명백히 아닌 것이다. 업계 후배들과 동료 엔지니어들은 제대로 공부해서 원리를 제대로 이해하고 해석을 진행했으면 하는 바람으로 글을 남긴다.

 

AIK지침에 따른 내용

 

학교시설 내진성능평가 보강 메뉴얼 지침 내용