회전축에 대한 응력 변환에 대한 이해와 고유치 해석적 접근

 

 예전에 탄성론을 처음 익힐 때 이 부분이 직관적으로 와닿지 않아서 엄청 고생했던 기억이다. 당시에는 이해하지 못해서 공식을 통채로 외워서 문제풀이에 활용하기에만 바빴는데, 후배들에게 잘 알려주려고 대학원 졸업 후에 고민을 하다보니 그제서야 제대로 이해가 되었다.

 원서나 공식으로 이해하는게 어려운 탓도 있겠으나 단위요소(unit)에 대한 가정사항등이 같이 체화되지 않은 상태에서 기하학적으로 접근하는게 이해가 안되었던게 제일 크기에 내 기준으로 비교적 설명하기 쉽게 다시 서술해서 남긴다. 물론 내가 참고한 책들에선 각각의 책들마다 수식을 진행해 나가는 방식이 조금씩 달랐는데, 나는 내가 대학원에서 본 탄성론 책의 방식이 가장 직관적이라 그 내용을 좀 더 이해하기 쉽게 풀어 쓴 정도로 정리하였다.

(역시 기하학적 설명이 들어간 탓에 그냥 손으로 써서 사진으로 남긴다.)

 

 3차원 공간에서 응력은 이런 2차원 공간의 벡터를 서로 행렬곱을 활용해 접근하는 텐서 형태라 기하학적 증명을 위해 수식을 전개하는게 매우 길어지기에 여기에 남기지 않으나, 개념적으로는 동일하기에 사각형과 삼각형 대신 큐브와 사면체를 생각하여 유도 가능하다.

 2차원에서 제대로 응력의 회전변환에 대해 수식을 유도할 수 있다면 이해의 과정은 동일하여, 3차원에서도 시간만 들이면 가능한 것이기에 이것만으로도 충분하다 생각되고, 3차원으로 갔을 때는 행렬계산을 어떻게 해서 계산을 단순화 시키는지 추가로 공부하면 될 것이다.

 

 그 아래에 고유치 해석이 가능한 형태인지 확인하기 위해 수식을 정리해 본 것이며, 응력은 내부 응력과 외력의 하중 평형 관계에 의해 주응력의 크기와 형상[방향]이 정해지는 고유값인 것을 다시 확인 할 수 있다.

여기까지가 일반적인 수식 전개이고 삼각함수 공식을 잘 활용하면 Mohr's circle에서 활용할 수 있는 형태가 된다.

 

개인적으로는 결국 고유치 해석으로 접근 할 수 있어야 왜 주응력의 각도가 결정적인지 바로 이해가 되므로 고유치 형태를 확인하였다.