해당 문제는 유한요소와 수치해석에 대한 기본기가 있다면 매우 쉬운문제인데, 기본 개념이 없으면 손도 댈 수 없는 문제이다. 대학원 시절에 유한요소 공부를 너무 대충 한 탓에 어떻게 푸는지 감도 잡지 못하다가, 주말 새벽에 갑자기 해당문제를 풀고 싶어져서 급하게 공부를 하고 풀이를 하여 남긴다.
우선 내가 공부를 하기 위해 기본 개념을 익히려고 급하게 본 자료와 외국 엔지니어링 교육 수업 자료를 먼저 남긴다.
공부를 하고 바로 풀이를 남긴거라... 혹시라도 보완하면 좋겠는 내용이 있다면 댓글을 남겨주시길 바란다.
유튜브 강의 자료: https://www.youtube.com/watch?v=iqZFaNNqACM
1. ) ---- 4자유도 평면보 요소 형상함수 𝑁_1 의 개념과 유도:
두 개의 노드를 갖는 평면 Euler-Bernoulli 보 요소는 각 노드에 두 개(처짐𝑢와 회전각𝜃)의 자유도를 가져 총 4자유도를 지닙니다. 보 요소의 처짐 모드는 인접 요소 간에 처짐 자체 연속 뿐 아니라 기울기(첫 번째 미분)도 연속해야 하므로, 형상함수를 3차 다항식(수치해석학의 Hermite 보간 다항식으로 접근)으로 가정합니다.
형상함수𝑁1은 "노드 1의 처짐" 자유도에 대응되는 함수로서, 노드 1에서 𝑁1=1 이고 𝜃1 방향 기울기가 0이며, 노드 2에서는 𝑁1=0 이고 𝜃2 방향 기울기가 0이 되도록 정의합니다. 이를 만족하는 최소 차수 다항식은 3차이므로, 우선 국부 좌표
𝑥(요소 길이 𝐿)에 대해 𝑤(𝑥)=𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥^2 + 𝑎3 𝑥^3 로 처짐을 가정한 뒤 노드 경계조건을 적용합니다.
노드 1 (𝑥=0)에서 𝑤(0)=1, w'(0)=0, 노드 2 (𝑥=L)에서 𝑤(L)=0, w'(L)=0
위 조건을 대입하면 (x) 형상함수가 결정됩니다. 이를 0~L이 아닌 -1~1로 대체하여 문제에서 제시한 표준화된 자연좌표 𝜉
(노드 1에서 𝜉=−1, 노드 2에서 𝜉=1)로 나타내면 다음과 같습니다:
𝑁1(𝜉)=(1/4) * (t^3-3t +2) = 1/4* ((1−𝜉)^2) * (2+𝜉) 이 형상함수는 위의 조건들을 모두 만족합니다.
2. ) ---- 가우스 적분 공식을 이용한 계산 과정:
유한요소에서 보의 강성계수 등을 계산하려면 형상함수의 곱이나 미분에 대한 적분이 필요하며, 이를 해석적으로 풀기 어려울 때 가우스 수치적분을 활용합니다. 가우스 적분 공식은 적분 구간에 걸쳐 함수값을 소정의 점에서 평가하여 가중합으로 적분 값을 근사하는 방법입니다. 예를 들어 2점 가우스-르장드르 적분의 공식은 표준 구간 [−1,1]에서 다음과 같습니다:
이 공식은 다항식의 차수가 3 이하인 경우 근사한 적분값을 줍니다.
계산 절차: (1) 적분 구간이 [a,b]로 주어지면 선형 치환 x=(a+b)/2+(b−a)/2*ξ로 [−1,1] 구간으로 변환하고,
dx=(b−a)/2*dξ Jacobian을 고려해 적분식을 표준구간 적분으로 바꿉니다. (2) 변환된 적분식을 가우스 공식에 따라 적분점을 대입해 평가합니다.
문제에서 요구한
의 값을
가우스 적분으로 구하려면 f(ξ) = (N1의 이계도함수)^2 를 적용하여,
f(ξ) = (3/2 ξ)^2 = 9/4 * ξ^2
I = 1*(9/4* (-1/√3)^2 + 1* (9/4* (+1/√3)^2 = 1.5
(풀이 완료)
[형상함수의 2계미분 값이 모멘트 값에 연결되는데 이것의 제곱값이 어떻게 다시 I값과 연결되는지는 이해하지 못하여 추가적인 공부가 필요함...]